StableRCWA · 圆锥入射的独立对照

圆锥入射：COMSOL 有限元与 RCWA 的对照

一维光栅在圆锥入射下的衍射，用两种互相独立的方法各算了一遍：StableRCWA 的 RCWA（C++ 模块里的 rcwa::solve_conical）和 COMSOL 的二维有限元。比较的量是每个传播级的四个通道效率和复 Jones 矩阵。从裸界面到带膜系的光栅共 8 组算例，通道效率最大相差 3.3×10⁻⁶；由端口 S 参数换算的 Jones 矩阵元最大相差 1.04×10⁻⁵，相位最大相差 0.013°，另一条直接采样电场的路线最大相差 1.5×10⁻⁵。光栅算例上的差与 RCWA 的截断误差、有限元的网格误差同量级，没有发现不随网格加密、不随截断阶数提高而减小的偏差。

台阶	算例	比较的通道数	最大差，RCWA 取 M = 60	出现在	最大差，RCWA 取 M = 200

光栅 A：周期 0.8 µm，光栅层厚 0.3 µm，齿宽 0.3 µm、折射率 1.8，其余是空气；空气入射，基底折射率 1.5，波长 1.053 µm，极角 42°。各台阶的结构见第 5 节。

差到 10⁻⁶ 说明什么

两种方法各有离散误差。RCWA 把场展开成 $2 M + 1$ 个空间谐波， $M$ 是截断阶数，误差随 $M$ 增大而减小。有限元把计算区域剖分成小单元，误差随网格加密而减小。两种方法之差降到各自误差的量级之后，这个差只说明两边在误差范围内一致，分不出哪一边更准。

所以每组算例除了比较两种方法，还各看了一次每种方法的结果随自身参数的变化。RCWA 一侧取 $M = 60$ 与 $M = 200$ 两次结果之差。截断误差大致按 $1 / M^{2}$ 下降（第 6 节），所以这个差约是 $M = 60$ 时截断误差的 0.91 倍，可以当作截断误差本身。

COMSOL 一侧取正式网格与再密一档的网格两次结果之差，网格的参数见第 3 节。这个差比正式网格的误差小：网格加密一档，误差只减小一半左右，两次结果之差也就只有正式网格误差的一半上下。第 6 节的表里，各光栅算例在正式网格上与 $M = 200$ 的差是这个变化的 1.5 到 2.2 倍。

下图把这四个量按台阶画在一起，每个量都是该台阶全部通道里的最大值。

两种方法之差，与每种方法自身换一档参数后的变化（通道效率，绝对值）

本页的 RCWA 结果全部来自 C++ 模块。对照的完整报告（没有随发布）的表里，RCWA 一栏出自另一份参照实现，即 gui/ 里附带的 Python 求解器。它与 C++ 模块的 Jones 矩阵元在 M = 60 时最多相差 6.9×10⁻¹³，M = 200 时最多相差 7.2×10⁻¹²，两处的数可以互换着读。

圆锥入射与四个通道

光栅的刻线沿 $y$ 方向，周期方向沿 $x$ ，周期为 $Λ$ 。入射波矢与表面法线的夹角是极角 $θ$ 。入射波矢和法线所在的平面叫入射面，它与 $x$ 轴的夹角是方位角 $φ$ 。

$φ = 0$ 时入射面垂直于刻线，各衍射级的波矢都在入射面内，s 偏振和 p 偏振互不耦合，这是通常的平面内入射。 $φ \neq 0$ 时，各级波矢沿刻线方向的分量相同，沿周期方向的分量逐级相差 $λ / Λ$ ：

k_{x, m} = n_{I} \sin θ \cos φ - m \frac{λ}{Λ}, k_{y} = n_{I} \sin θ \sin φ, k_{z, m} = \sqrt{n^{2} - k_{x, m}^{2} - k_{y}^{2}}

波矢以 $k_{0} = 2 π / λ$ 为单位。 $n$ 是这一级所在介质的折射率，反射级取入射介质的 $n_{I}$ ，透射级取出射介质的 $n_{II}$ 。 $k_{z, m}$ 是实数的级叫传播级，它带走能量；是虚数的级叫倏逝级，离开光栅后按指数衰减。某一级恰好在两者之间、 $k_{z, m} = 0$ 的位置叫 Rayleigh 截止。

$m$ 前面是减号，这是 C++ 模块的编号。光栅方程常用的写法里 $k_{x}$ 随级次增大，本页的 +1 级是那里的 −1 级。COMSOL 的 Periodic Structure 节点自动生成的端口也按常用写法编号，所以第 3 节的端口表里这一级是 −1。

同一种介质里各传播级的波矢长度相同， $k_{y}$ 也相同，所以它们与刻线方向的夹角相同，都落在以刻线方向为轴的一个圆锥面上。圆锥入射由此得名。

各级的波矢不共面，每一级有自己的衍射面，即这一级的波矢与法线所在的平面，方位角是 $φ_{m} = atan2 (k_{y}, k_{x, m})$ 。偏振相对各自的衍射面定义：s 分量的电场垂直于衍射面，p 分量的电场在衍射面内并垂直于波矢。零级的面内波矢与入射波相同，它的衍射面就是入射面。

圆锥入射的几何（光栅 A 的参数：λ = 1.053 µm，Λ = 0.8 µm，θ = 42°，入射介质是空气，出射介质 n = 1.5）

方位角 φ40°

从斜上方看入射一侧

俯视：各级的面内波矢 (k_x,m, k_y)

在某一级的衍射面内看

箭头是三束波的波矢。s 分量的单位矢量

\hat{s}

垂直于纸面、指向读者，图中画成 ⊙；p 分量的单位矢量

\hat{p}

在纸面内。每一束都满足

\hat{p} \times \hat{s} = \hat{k}

。

斜视图：视线跟着入射面转，图上入射面不动，改变

φ

时转动的是光栅。图上各束光沿各自波矢

(k_{x, m}, k_{y})

所指的方向行进。C++ 模块自己的坐标里，场随

x

、

y

的变化写成

\exp [- i k_{0} (k_{x, m} x + k_{y} y)]

，时间因子是 exp(−iωt)，波的行进方向与图上相反；定义左右不对称的齿形时要留意这一点，见第 4 节。浅色的竖直平面是衍射面，入射波与反射 0 级共用一个，+1 级另有一个。虚线弧上各点的波矢长度相同、

k_{y}

相同，反射各级的波矢端点都在这条弧上。俯视图：坐标轴固定在光栅上。实线半圆的半径是空气里的波数

n_{I}

，虚线半圆的半径是基底里的

n_{II}

，落在圆内的级在该介质里传播。各级排在同一条水平线上，间隔

λ / Λ

= 1.316。

φ

增大时这条线上移，+1 级在

φ

= 47.93° 处移出空气的圆，从传播变成倏逝。短箭头是各级的

\hat{s}

，在俯视图里垂直于这一级的面内波矢，逐级不同。衍射面内的那一幅画的是任一束波的

\hat{s}

、

\hat{p}

怎样取，说明在图下。

入射波的 s、p 两个分量各自都会激发出每一级的 s、p 两个分量。所以每个衍射级用一个 2×2 的复矩阵描述，叫 Jones 矩阵：

{(\begin{matrix} E_{s} \\ E_{p} \end{matrix})}_{m} = {(\begin{matrix} J_{s s} & J_{s p} \\ J_{p s} & J_{p p} \end{matrix})}_{m} {(\begin{matrix} E_{s} \\ E_{p} \end{matrix})}_{in}

四个矩阵元对应四个通道。下标 $a b$ 表示入射 $b$ 偏振、出射 $a$ 偏振，例如 sp 是 p 偏振入射、s 偏振出射。ss 和 pp 是同偏振通道；sp 和 ps 是交叉偏振通道， $φ = 0$ 时为零。通道效率是这个通道带走的功率占入射功率的比例，等于矩阵元模的平方乘一个能流因子：

η_{a b} (m) = f_{m} | J_{a b} (m) |^{2}, f_{m} = \frac{Re k_{z, m}}{n_{I} \cos θ}

功率按垂直于光栅表面的能流计算，能流因子就是这一级与入射波在法线方向上的能流之比。反射级的 $k_{z, m}$ 在入射介质里取，透射级在出射介质里取。

本页比较每个传播级在反射和透射两侧各四个通道的效率，第 7 节再比较 Jones 矩阵元本身。反射 +1 级的 sp 通道记作 R+1 sp，透射零级的 ss 通道记作 T0 ss，其余类推。

图解：Jones 矩阵与偏振椭圆（需要浏览器脚本）

有限元模型

COMSOL 一侧用二维模型，只画一个周期的截面，物理场是 COMSOL 6.4 的电磁波频域接口。结构沿刻线方向不变，场沿这个方向只带一个相位因子，对应的波数叫离面波数， $k_{op} = k_{0} n_{I} \sin θ \sin φ$ ，就是上一节的 $k_{y}$ 乘上 $k_{0}$ 。电场的三个分量都作为未知量求解。这样的二维模型算的就是三维的圆锥入射。

二维模型的一个周期（台阶 6：光栅 A 加两对膜，按比例画）

区域。自上而下是空气间隔层、结构各层、基底间隔层，全部是矩形。折射率按区域给定。吸收介质在 RCWA 里写成 $n + i κ$ ，在 COMSOL 里写成 $n - j k_{i}$ ，取 $k_{i} = κ$ 。
左右边界。Floquet 周期条件：两侧的场只差一个由入射波矢决定的相位。
上下边界。周期端口。上边界的端口发出入射平面波，同时接收反射；下边界的端口接收透射。一个端口只接收一个衍射级的一种偏振，所以每个传播级在每一侧需要两个端口。
间隔层。端口只接收传播级，倏逝级靠间隔层衰减。间隔层的厚度 $h$ 按衰减最慢的那个倏逝级取，使 $\exp (- 2 k_{0} Im k_{z} h)$ 不超过 10⁻⁸，再加 0.05 µm。光栅 A 在 φ = −40° 时上下间隔层的这个衰减量是 3.9×10⁻⁹ 和 5.4×10⁻⁹。

在 COMSOL 里对应的设置如下。物理场接口里把求解的电场分量设成三分量矢量，离面波数填 $k_{op}$ 。波动方程用折射率模型，折射率的实部和虚部按区域给定。周期性和端口用 Periodic Structure 节点：选上边界作激励端口，偏振选线偏振的 S 或 P，入射角填 alpha_inc（取值见第 4 节），两侧的折射率填 $n_{I}$ 和 $n_{II}$ ，衍射级次按当前参数生成。左右边界的 Floquet 周期条件由这个节点自带，波矢取自周期端口。端口是按生成时的波长、角度和周期列出的，这些参数变了，传播级可能不同，端口要重新生成；本页每个算例都重新建模。

生成的端口分三类。周期端口本身接收零级里与激励同偏振的分量。它的 Orthogonal Polarization 子节点接收零级的另一种偏振。每个非零的传播级有两个 Diffraction Order 子节点：out-of-plane 的模式电场垂直于这一级的衍射面，对应 s；in-plane 的在衍射面内，对应 p。每个模型求解两次，一次 S 激励，一次 P 激励，所以下表每个端口列出两个通道。光栅 A 在 φ = −40° 时有 8 个端口：

COMSOL 的端口按它自己的级次号编号，与 RCWA 的级次号差一个符号，第 4 节说明。周期更大的附加 B 有 12 个端口。

网格

网格是自由三角形。每个区域的最大单元尺寸取 $λ / (k n)$ ， $n$ 是该区域的折射率， $k$ 是每个局部波长里的单元数。齿的角点是介质的尖角，电场在那里有奇异性，角点处的最大单元尺寸再缩小若干倍。左边界先划分，再把网格复制到右边界，保证两条周期边界上的节点一一对应。单元用二次或三次多项式。

正式结果统一用这一档网格：三次单元，k = 16，齿角处再密 8 倍，单元尺寸的增长率 1.3。

正式网格的最大单元尺寸（nm）

一次求解

两套约定的对应

RCWA 和 COMSOL 的时间因子、坐标、角度参数、级次编号、偏振基都不一样。要逐通道比较，先要把每一项对应起来，而且每一条对应关系都要用数值核实，不能只靠读文档。下表是全部对应关系和核实用的数。其中入射角和结构取向两条容易取错，后面分开说明。

项目	RCWA	COMSOL	怎样核实
时间因子	exp(−iωt)	exp(+jωt)	两边的复振幅互为共轭。基底里相隔一段距离的两点，电场之比与平面波的相位因子 exp(−j k·Δr) 相差 2.2×10⁻³，k 是波矢。这一项用的是粗网格：每个局部波长 10 个单元，二次单元。
入射方向	极角 θ，方位角 φ	面内入射角 α，离面波数 k_op	α = atan(tan θ·cos φ)。裸界面对 Fresnel 公式，见下。
离面波数的符号	k_y = n_I sin θ sin φ	k_op = +k₀·k_y	基底里的平面波应当满足 k·E = 0，k 是波矢。实测 \|k·E\|/(\|k\|\|E\|) 不超过 2.6×10⁻³；把离面分量反号则是 0.33 到 0.44。
结构的取向	ε(x)	ε(−x)，再整体平移	COMSOL 里要建 RCWA 结构的镜像。用非对称光栅核实，见下。
级次	第 m 级，k_x,m = k_x,0 − mλ/Λ	端口自己的级次号	不靠级次号，按每个端口报告的模式波矢与 RCWA 的 (k_x,m, k_y) 配对。正式结果里每个端口都配上了，两边的波矢相差不超过 2.3×10⁻¹⁶。见下。
偏振	s、p，相对各级的衍射面	入射的 S、P 相对入射面定义，φ ≠ 0 时入射面不是模型平面。出射端口里 out-of-plane 对应 s，in-plane 对应 p；周期端口本身与激励同偏振，Orthogonal Polarization 是另一种	端口的模式电场方向投到 RCWA 的 $\hat{s}$ 、 $\hat{p}$ 上应当是 ±1，实测与 ±1 相差不超过 2.8×10⁻¹⁶。
效率	f_m·\|J_ab\|²	\|S\|²	端口的 S 参数已经按功率归一，不再乘能流因子。无吸收的算例里全部端口的 \|S\|² 之和应当是 1：三次单元、k ≥ 16 的 88 次求解偏差不超过 9.0×10⁻¹⁴，全部 150 次求解里最大的是 3.1×10⁻⁹，出在最粗的网格上。

最后一行的和等于 1 只说明能量守恒：无吸收的模型里功率只能从端口出去，没有端口接收的传播级会被边界反射回去，分到别的端口上。它不说明端口齐全，也不说明结果正确。下面级次号取错的那次求解少了一个传播级的端口，和照样是 1。

入射角：COMSOL 的参数是面内角

COMSOL 二维周期端口有一个入射角参数 alpha_inc。它是波矢在模型平面内的投影与法线的夹角，模型平面是光栅矢量和法线张成的平面。只有 $φ = 0$ 时它才等于极角 $θ$ 。读端口变量得到的关系是

k_{x} = \sqrt{k_{I}^{2} - k_{op}^{2}} \sin α, β = \sqrt{k_{I}^{2} - k_{op}^{2}} \cos α

其中 $k_{I} = k_{0} n_{I}$ 是入射介质里的波数， $k_{x}$ 是波矢沿光栅矢量的分量（这里带单位，没有除以 $k_{0}$ ）， $β$ 是沿法线方向的传播常数。要得到极角 $θ$ 、方位角 $φ$ 的入射波，应当设

α = atan (\tan θ \cos φ), k_{op} = k_{0} n_{I} \sin θ \sin φ

θ = 42°、φ = −40° 时 α = 34.596°。

极角 θ 与面内角 α

θ 是波矢本身与法线的夹角。α 是波矢投到模型平面之后与法线的夹角。图按 θ = 42°、φ = −40° 画，这时 α = 34.6°。

裸界面的反射率：两种设法与 Fresnel 公式

把 alpha_inc 直接设成 $θ$ 时，模型照常求解，各端口效率之和照样是 1，但算的是极角 47.86° 的入射。这个错误在台阶 1（裸界面）就被 Fresnel 公式查了出来，改正之后才往下做。 $\cos φ < 0$ 即 $| φ | > 90 °$ 的情形没有试。

图解：面内角与极角（需要浏览器脚本）

结构取向：COMSOL 里要建镜像

RCWA 用时间因子 exp(−iωt)，场沿横向的变化写成 $\exp [- i k_{0} (k_{x, m} x + k_{y} y)]$ 。这两个符号合起来， $k_{x, m} > 0$ 的波在 RCWA 的坐标里朝 $- x$ 方向走。COMSOL 用 exp(+jωt) 和 exp(−j k·r)， $k_{x} > 0$ 的波朝 $+ x$ 方向走。两边的波矢取同一组数值时，坐标之间的关系是

x_{C} = - x_{R} + x_{shift}, y_{C} = - z_{R}, z_{C} = - y_{R}

下标 C 是 COMSOL，R 是 RCWA。所以 COMSOL 里的结构是 RCWA 结构沿 $x$ 的镜像， $x_{shift}$ 是为了把齿放到周期中间而加的平移。

图解：两套约定里波的行进方向（需要浏览器脚本）

左右对称的光栅分辨不出这一条：光栅 A 取不取镜像，结果只差 2.2×10⁻⁸。所以另加了一个非对称光栅，一个周期内依次是折射率 1.8、1.4、1.0 的三段。

非对称光栅的光栅层：RCWA 的定义与 COMSOL 里的两种建法（各画两个周期）

RCWA 的原结构与它的镜像，通道效率最多相差 9.0×10⁻³，约是两种方法之差的 5 600 倍，足以分辨取向。COMSOL 取镜像时对上原结构，不取镜像时对上镜像结构。结构对 y 方向镜像对称，φ = +40° 与 φ = −40° 的效率应当相同，COMSOL 两次结果相差 8.1×10⁻¹⁵。

级次号：两种搭法不一样，取错不报错

RCWA 的第 $m$ 级是 $k_{x, m} = k_{x, 0} - m λ / Λ$ 。COMSOL 的端口有自己的级次号，它与 RCWA 的 $m$ 是什么关系，取决于端口是怎么搭的。用 Periodic Structure 节点自动生成端口时，两侧的级次号都与 RCWA 反号。手工逐个添加 Port 和 Diffraction Order 子节点时，入射侧反号，出射侧同号。下表里的关系由端口报告的模式波矢配对得出：

图解：级次号与端口（需要浏览器脚本）

各台阶的结果

算例排成台阶，从最简单的结构开始，每个台阶只多一种因素，上一个对上之后才做下一个。全部算例的波长是 1.053 µm，极角 42°，入射介质的折射率 $n_{I}$ = 1，出射介质的折射率 $n_{II}$ = 1.5。

台阶 1、2：均匀结构，对解析解

裸界面有 Fresnel 公式，单层膜有 Airy 公式，两种方法都可以直接对解析值。这两个台阶检验入射角、偏振的标法，以及膜厚和膜内的多次反射。均匀结构不产生衍射，也不耦合偏振，其余通道都应当是零：每个算例有 12 个这样的通道，RCWA 给出 0，COMSOL 给出的值不超过 4.5×10⁻¹⁶。

均匀结构的四个非零通道

解析值与方位角无关。COMSOL 一栏是 φ = −40° 的结果；最后两栏是 φ = −40° 和 φ = 0° 两次 COMSOL 结果与 RCWA 的差。

台阶 3、4：光栅 A，无吸收与有吸收

齿有吸收时，反射与透射的效率之和小于 1，差额就是吸收。COMSOL 一侧可以用两种互不相干的办法得到吸收：1 减去全部端口的效率之和，或者把损耗功率密度在齿内积分再除以入射功率。

台阶 4 的吸收

台阶 5：方位角扫描

光栅 A 的通道效率随方位角的变化

数据表

各方位角上的差（全部通道里的最大值）

台阶 6 与两个附加算例

网格收敛与稳健性

正式网格是怎么定下来的，以及它给出的数有多可靠，都在光栅 A（台阶 3）上试过。下面三幅图的横轴是每个局部波长里的单元数 $k$ ，纵轴是两种方法在全部通道里的最大差。

不加密齿角

齿角处加密 8 倍

三次单元 + 齿角加密：两种参照

各光栅算例：网格 k = 12、16、24 三档上的最大差（RCWA 取 M = 200）

RCWA 的截断阶数扫描（光栅 A，φ = −40°）

改动模型的其他设置

下表每一行只改一项设置，其余与正式结果相同（光栅 A，三次单元，k = 16，齿角加密 8 倍）。

相位

效率只用到 Jones 矩阵元的模。椭圆偏振入射、几束光相干叠加这类问题还要用到相位，所以矩阵元本身也比了，比的是完整的复数，包括各级之间的相对相位和绝对相位。比较走了两条互相独立的路线。

端口路线。由 COMSOL 的复 S 参数换算成 RCWA 约定下的矩阵元：

J_{a b} (m) = \frac{S_{K 1}^{*}}{\sqrt{f_{m}}} σ_{out} (K) σ_{in} (b) \exp {- i k_{0} [(k_{x, m} - k_{x, 0}) (x_{ref} - x_{shift}) + k_{z, 0}^{I} h_{top} + k_{z, m} h]}

$K$ 是接收这个通道的端口，1 是激励端口。取复共轭是因为两边的时间因子相反；除以 $\sqrt{f_{m}}$ 是把按功率归一的 S 参数还原成电场幅值之比。
指数里是参考面的换算。S 参数以各端口所在的平面为相位零点，RCWA 的反射以结构上表面、透射以结构下表面为零点。 $h_{top}$ 是激励端口到结构上表面的距离， $h$ 是接收端口到相应表面的距离。 $x$ 方向上，COMSOL 的相位零点在 $x = 0$ （ $x_{ref} = 0$ ），RCWA 的原点在 COMSOL 的 $x = x_{shift}$ 处。本页所有模型的周期单元都从 $x = 0$ 画起，端口的左端点就在 $x = 0$ ；零点是坐标原点还是端口的左端点，这次对照分不出来。
$σ_{out} (K)$ 是端口 $K$ 的模式电场方向相对 RCWA 单位矢量 $\hat{s}$ 或 $\hat{p}$ 的符号，取 +1 或 −1，由端口变量 ewfd.Eampl 和 ewfd.kMode 逐个端口算出。 $σ_{in} (b)$ 是激励端口发出的入射场相对 RCWA 入射单位矢量的符号。

图解：参考面的换算（需要浏览器脚本）

式子里没有可调的量。 $σ_{in}$ 由场直接定出：在空气区采样电场，分出入射波，折算到端口平面，得到 S 激励是 $+ \hat{s}$ ，P 激励是 $- \hat{p}$ ，与这两个值的偏差不超过 1.4×10⁻⁵。

场路线。不用任何端口变量。在空气区取 2 条水平线、基底区取 2 条，每条线上等距采样 32 个点的电场，对每个传播级的 $k_{x, m}$ 做离散 Fourier 投影得到这一级的矢量振幅，再投到 $\hat{s}$ 、 $\hat{p}$ 上；空气区的零级用两条线解出入射波和反射波。S、P 两次激励合起来解出 2×2 的矩阵。这条路线只用到场和几何。

端口路线：各台阶上与 RCWA 的最大差

场路线：做了场采样的 9 个作业

光栅 A 的 16 个 Jones 矩阵元：相位，以及与 RCWA 之差的模

两条路线互相独立地确认了级次的配对、s 和 p 的符号约定、 $x$ 轴的取向、参考面的位置，以及 P 激励时入射矢量的符号。只比效率时这些符号都不起作用；比相位时每个端口的符号都要单独确定，各类端口并不相同：

端口模式电场方向相对 RCWA 单位矢量的符号（Periodic Structure 节点）

结论与没有检查的项

对上了什么

没有检查的

只有一个波长（1.053 µm）和一个极角（42°）。方位角只到 80°，没有试 φ = 90°、|φ| > 90° 和负的极角。
没有靠近 Rayleigh 截止的点。方位角扫描的各点里，离截止最近的一级 |k_t|/n − 1 = 0.051，其中 k_t 是面内波矢的长度。RCWA 在截止附近的行为没有经过这次对照。
没有靠近圆锥入射特有的层内模式奇点的点，这类奇点见第 5 节方位角扫描的图注。做了本征分解、φ ≠ 0 的 11 个算例里，离奇点的距离指标在 0.42 到 7.6 之间，模块的警告阈值是 0.01。模块在奇点附近的精度没有经过这次对照。
传播级最多 6 个（附加 B：透射 4 个、反射 2 个）。没有做大周期、几十个传播级的结构。
只有矩形齿和分段常数的折射率。没有斜壁、圆角和金属。吸收只试了齿有吸收的一种。基底始终无吸收，这也是 RCWA 模块本身的要求。
入射介质始终是空气。没有试从高折射率一侧入射，也没有试全反射。
光栅层都是 0.3 µm 厚的一层。没有深槽，也没有几个光栅层叠在一起的结构。
只比了传播级。倏逝级的振幅没有比。
入射只有线偏振的 s 和 p。圆偏振、椭圆偏振没有在 COMSOL 里直接算，它们由 Jones 矩阵决定，而 Jones 矩阵已经比过。
手工搭端口的路线只在台阶 3 比了效率，没有比相位，也没有在别的台阶上重复。
所有模型的周期单元都从 x = 0 画起。S 参数在 x 方向的相位零点是坐标原点还是端口的左端点，没有区分。
Jones 矩阵在比正式网格更密的网格上只比了光栅 A 一个算例。
网格只做了尺寸加密，试了两种单元阶次和有无齿角加密。没有试四边形网格，没有改求解器设置。
只用了 COMSOL 6.4 这一个版本。C++ 模块只跑了默认选项。

在 COMSOL 里重复这件事时要留意的

入射角。φ ≠ 0 时 alpha_inc 要设成 atan(tan θ·cos φ)。设成 θ 时模型照样能解，能量照样守恒，结果是另一个入射方向的。
结构取向。与采用 exp(−iωt) 和 exp[−ik₀(k_xx + k_yy)] 的 RCWA 对照时，COMSOL 里要建结构的镜像。对称结构查不出这个错。
级次号。Periodic Structure 节点和手工搭的 Port 在出射侧的编号相反，取错不报错。读 ewfd.kModex_K、ewfd.kModez_K 按波矢配对，并检查沿法线的 ewfd.kModey_K 是实数；倏逝级的这个量是纯虚数。
端口效率之和等于 1 不能当作结果正确的证据。入射角设错、级次号取错时它都等于 1。
齿角要局部加密，齿的侧壁不要落在周期边界上。见第 6 节。
S 参数的变量名。端口号是一位数时写作 ewfd.S21，到两位数变成 ewfd.S10_1。附加 B 有 12 个端口，第一次运行时 10、11、12 号端口没有读出来，改了脚本之后重算。
吸收。ewfd.Atotal 是体积损耗的积分。想要两个独立的数，要自己把端口效率加起来再用 1 去减。
相位。P 激励发出的入射矢量是 $- \hat{p}$ ；Orthogonal Polarization 端口和出射侧各端口的模式矢量符号各不相同。比相位时要逐个端口用 ewfd.Eampl 定符号。
脚本驱动时的两处报错。Periodic Structure 的激励端口不能指派命名选择，要给出边界编号。手工创建 Port 时标签太短会抛异常：试过的是两个字符的 pt，报错是字符串下标越界（Range [4, 2) out of bounds for length 2）。改成 port1 这样的标签就没事，最短要几个字符没有试。

重新运行

COMSOL 一侧的驱动脚本、作业文件和原始输出（约 100 MB，重算还需要 COMSOL 的许可证）没有随 v0.1.0 发布。全部汇总数字见仓库的 docs/validation.zh-CN.md。RCWA 一侧用的是仓库里的 rcwa::solve_conical，以及 gui/ 里附带的 Python 参照求解器（rcwa1d.py 与 conical/）。

差到 10−6 说明什么